Advances in the Modelling of Spatio-Temporal Variability from Large to Mesoscale Oceanographic Features Off Northwest Africa: A Finite Element Method Approach with HDG

Abstract

The ocean exhibits a wide range of physical processes across different spa- tial and temporal scales. In the North Atlantic Ocean, these processes range from large-scale currents associated with the global thermohaline circulation, of approximately 10 000 km, to microscale turbulence at the cm level. The temporal scales extend from hourly fluctuations to decadal variations. Due to this complexity, observational data often lack the resolution and synop- ticity needed to fully capture these dynamics, making numerical modelling an essential tool for complementing observations and improving our under- standing of oceanic physical structures. A useful approach to analyze ocean dynamics is through the Shallow Wa- ter Equations (SWE), an approximation of the Navier–Stokes equations that assumes a shallow fluid layer in which the horizontal scale greatly exceeds the vertical. These equations cannot be solved analytically and require the use of numerical methods. The Finite Element Method (FEM) is a well-suited tool to create powerful models. FEM is based on the variational formulation of the system of Partial Differential Equations, and offers flexibility in the mesh design, permitting the use of unstructured meshes, and computational efficiency. The Hybridiz- able Discontinuous Galerkin (HDG) method belongs to the FEM family and provides all its advantages while also ensuring local conservation and effi- cient solution strategies. Implicit–explicit (IMEX) time integration schemes allow for larger time- step sizes than fully explicit methods, while being less computationally de- manding than fully implicit schemes. Strong Stability Preserving (SSP) schemes further ensure that the non-linear stability properties of the system are main- tained, a crucial requirement when dealing with hyperbolic systems such as the SWE. In this thesis, we analyze the suitability of a numerical model of the Shal- low Water Equations based on the HDG spatial discretization and an IMEX viii SSP time discretization for oceanographic problems. The model is imple- mented using the Firedrake finite element library in Python.

El océano presenta una amplia gama de procesos físicos a diferentes es- calas espaciales y temporales. En el Océano Atlántico Norte, estos proce- sos van desde las corrientes a gran escala, asociadas a la circulación termo- halina mundial, de aproximadamente 10 000 km, hasta la turbulencia a mi- croescala, a nivel de cm. Las escalas temporales abarcan desde fluctuaciones horarias hasta variaciones decenales. Debido a esta complejidad, los datos observacionales carecen a menudo de la resolución y sinopticidad necesarias para captar plenamente esta dinámica, lo que convierte a la modelización numérica en una herramienta esencial para complementar las observaciones y mejorar nuestra comprensión de las estructuras físicas oceánicas. Un enfoque útil para analizar la dinámica del océano es el de las ecuaciones de aguas someras (SWE, por sus siglas en inglés), una aproximación de las ecuaciones de Navier-Stokes que supone una capa de fluido poco profunda en la que la escala horizontal supera ampliamente a la vertical. Estas ecua- ciones no pueden resolverse analíticamente y requieren del uso de métodos numéricos. El método de los elementos finitos (FEM, por sus siglas en inglés) es una herramienta muy conveniente para crear modelos potentes. El FEM se basa en la formulación variacional de las ecuaciones diferenciales que definen el problema, y ofrece flexibilidad en el diseño de la malla, permitiendo el uso de mallas no estructuradas, y eficiencia computacional. El método Galerkin dis- continuo hibridizable (HDG, por sus siglas en inglés) pertenece a la familia del FEM y ofrece todas sus ventajas, al tiempo que garantiza la conservación local y estrategias de solución eficientes. Los esquemas de discretización temporal implícitos-explícitos (IMEX) per- miten tamaños de paso temporal mayores que los métodos totalmente ex- plícitos, mientras que son menos exigentes desde el punto de vista computa- cional que los esquemas totalmente implícitos. Los esquemas Strong Stability Preserving (SSP) garantizan, además, el mantenimiento de las propiedades de estabilidad no lineal del sistema, un requisito crucial cuando se trabaja con sistemas hiperbólicos como las SWE. En esta tesis se analiza la idoneidad de un modelo numérico de las Ecua- ciones de Aguas Someras basado en la discretización espacial HDG y una discretización temporal IMEX SSP para problemas oceanográficos. El mod- elo se implementa utilizando la librería de elementos finitos Firedrake en Python.