Estrategias para la resolución de grandes sistemas de ecuaciones lineales. Métodos de cuasi-mínimo residuo modificados

Abstract

Las aplicaciones de métodos como diferencias finitas, elem^entos finitos, ele- mentos de contomo, volúmenes finitos, etc., para la obtención de soluciones aproxim.adas de problemas de contomo en derivadas parciales, desembocan en la resolución de grandes sistemas de ecuaciones lineales de matriz tipo sparse. Para resolver estos sistemas, además de los métodos directos basados ge- neralmente en la factorización de la matriz del sistema utilizando la elimina- ción gaussiana y de los métodos iterativos clásicos Qacobi, Gauss-Seidel, Rela- jación,...), se han desarrollado en los últimos años otros métodos, basados en los subespacios de Krylov, que presentan algunas ventajas respecto a los ante- riores. El objeto de esta tesis es el estudio de estos métodos de Krylov, principal- mente de su aplicación a la resolución de sistemas no simétricos, así como el de algunas técnicas de precondicioimüento, almacenamiento y reordenación de los sistemas que los hacen más efectivos. El presente trabajo se estructura en dos partes. En una primera parte se pre- senta im estado del arte de los métodos basados en los subespacios de Krylov y de las técnicas anteriormente mencionadas. La segimda parte, pretende hacer una nueva aportación a algunos de estos métodos, concretamente a los mé- todos de cuasi-mínimo residuo, introduciendo una variante en su desarrollo que consiste en resolver el problema de mínimos cuadrados, correspondiente a la cuasi-minimización, utilizando un método directo. Por último, se presentan una serie de experimentos numéricos para contrastar la eficacia de los distintos algoritmos estudiados, utilizando diferentes formas de precondicionamiento y reordenación en cada caso y exponiendo las conclusiones extraídas de estos y las posibles líneas de trabajo futuras.